בגרות חורף 2026 · שאלה 3 – גשר מיתרים: משפט פיתגורס ומשולשים דומים3 יחידות 371 · שיעור 41
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מתואר גשר ישר, BE. לגשר יש ארבעה מיתרים AB , AC , DC , DE היוצרים שני משולשים שווי שוקיים ABC ו־DCE, AB = AC , DC = DE. הנקודה F נמצאת על קטע הגשר BC.
AF הוא עמוד תמיכה, מאונך לגשר ואורכו 33.6 מטרים. אורך קטע הגשר BC הוא 50.4 מטרים.
א. מצאו את אורך המיתר AC.
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון כי המשולשים ABC ו־DCE דומים זה לזה, וכי אורך המיתר DE הוא 30 מטרים.
ב. (1) מצאו את יחס הדמיון בין המשולש ABC ובין המשולש DCE.
(2) מצאו את אורך הגשר כולו (BE).
בעקבות בדיקת בטיחות, הוחלט לשפץ את ארבעת המיתרים של הגשר. עלות השיפוץ של 1 מטר מיתר היא 530 שקלים.
ג. מצאו את עלות השיפוץ סך הכול של ארבעת המיתרים.
סעיף א – אורך המיתר AC
המשולש ABC שווה שוקיים (AB = AC), ו־AF הוא הגובה לבסיס BC.
במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן F אמצע BC:
📐 משולש שווה שוקיים
FC = BC2
נציב BC = 50.4:
FC = 50.42 = 25.2
במשולש AFC הזווית F ישרה, ו־AC הוא היתר:
📐 משולש שווה שוקיים
הגובה לבסיס הוא גם תיכון לבסיס
סעיף א – אורך המיתר AC · המשך
במשולש AFC הזווית F ישרה, ו־AC הוא היתר:
AC2 = AF2 + FC2
📐 משפט פיתגורס
נציב AF = 33.6 , FC = 25.2:
AC2 = 33.62 + 25.22
AC2 = 1128.96 + 635.04
AC2 = 1764
📐 משפט פיתגורס
c2 = a2 + b2
c – היתר, a , b – הניצבים
c – היתר, a , b – הניצבים
סעיף א – אורך המיתר AC · המשך
AC2 = 1764
AC = √1764 = 42
✅ פתרון סופי: AC = 42 מטרים
סעיף ב (1) – יחס הדמיון
השוק AC במשולש ABC מתאימה לשוק DE במשולש DCE.
k = ACDE
📐 משולשים דומים
נציב AC = 42 , DE = 30:
k = 4230 = 75 = 1.4
✅ פתרון סופי: 75 (1.4)
📐 משולשים דומים
יחס הדמיון = היחס בין צלעות מתאימות
ACDE = BCCE
ACDE = BCCE
סעיף ב (2) – אורך הגשר BE
הבסיס BC מתאים לבסיס CE:
BCCE = 1.4
📐 משולשים דומים
נציב BC = 50.4:
50.4CE = 1.4
CE = 50.41.4 = 36
BE = BC + CE
📐 משולשים דומים
יחס הדמיון = היחס בין צלעות מתאימות
ACDE = BCCE
ACDE = BCCE
סעיף ב (2) – אורך הגשר BE · המשך
BE = BC + CE
נציב BC = 50.4 , CE = 36:
BE = 50.4 + 36 = 86.4
✅ פתרון סופי: BE = 86.4 מטרים
סעיף ג – עלות שיפוץ המיתרים
ארבעת המיתרים: AB = AC = 42 , DC = DE = 30.
42 + 42 + 30 + 30 = 144
עלות: 530 שקלים למטר:
144 · 530 = 76,320
✅ פתרון סופי: 76,320 שקלים
📌 סיכום התשובות
סעיף א
AC = 42 מטרים
ב (1)
75
ב (2)
BE = 86.4 מטרים
סעיף ג
76,320 שקלים
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא